Fermat

Pierre de Fermat - Français (1601 ; 1665)

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Pierre Fermat est né le 17 août 1601 à Beaumont-de-Lomagne dans le Tarn-et-Garonne.
Issu d’une famille bourgeoise, il fait ses études à Toulouse qu’il poursuit à Orléans pour devenir bachelier en droit civil.
En 1630, il est nommé conseiller du roi à la Chambre des requêtes au Parlement de Toulouse et à partir de 1648, il accède à des fonctions plus élevées hiérarchiquement, à la Chambre Criminelle et la Grand’ Chambre. Puis en 1648, il devient membre de la Chambre de l'Edit de Castres.
Ses fonctions de magistrat lui assurent des revenus aisés accommodés d’un domaine d’environ 140 hectares de bonnes terres de culture (soit environ un rectangle de 1km sur 1km1/2). Par ailleurs, ses hautes responsabilités parlementaires lui permettent d’ajouter une particule de noblesse à son nom pour devenir Pierre de Fermat.

Mais aux dires de certains, ce n’est pas par ses qualités professionnelles que Fermat est reconnu. Il serait même un médiocre magistrat. En revanche, ses activités scientifiques pour lesquelles il s’adonne en amateur, le consacrent comme un génie de son temps. Il ne s’intéresse aux mathématiques que par plaisir, adore la démonstration et propose des méthodes innovantes. Pourtant Fermat ne publiera rien de son vivant ; l’essentiel de ses travaux se dispersent au travers de correspondances avec quelques-uns des plus grands scientifiques de son temps tels que Galilée (1564 ; 1642), René Descartes (1596 ; 1650), Blaise Pascal (1623 ; 1662) ou Marin Mersenne (1588 ; 1648).

 


Marin Mersenne (1588 ; 1648)

En 1632, Fermat rencontre pour la première fois Pierre de Carcavi, un autre conseiller au parlement de Toulouse avec lequel il se lie d’amitié et partage son goût pour les sciences. C’est avec lui et Mersenne que Fermat traite de problèmes sur la chute des corps déjà exposés par Galilée.

 

En parallèle avec Descartes, avec qui Fermat correspond et n’est pas toujours en accord, il développe la notion de représentation graphique d’une fonction. Pour Descartes, le repère permet de résoudre un problème de géométrie alors que Fermat part directement d’une expression algébrique pour tracer la courbe.
Ses travaux en analyse sont les bases du calcul différentiel que reprendront un peu plus tard Isaac Newton (1643 ; 1727) et Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ; 1716). Fermat approche la notion de dérivée pour trouver les minima et maxima de fonctions polynômes et développe une méthode d’intégration proche de celle utilisée aujourd’hui.

 


René Descartes (1596 ; 1650)

Dans leurs correspondances, Fermat et Pascal exposent une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s’intéressent à la résolution de problèmes de dénombrement comme par exemple celui du Chevalier de Méré :

« Comment distribuer équitablement la mise à un jeu de hasard interrompu avant la fin ? »

L'ensemble des résultats de leurs recherches sera publié en 1675 par Christiaan Huygens (1629 ; 1695) dans son ouvrage "De ratiociniis in ludo aleae".


Blaise Pascal (1623 ; 1662)

 

Mais ce qui passionne le plus Fermat, ce sont les problèmes de l’Antiquité. Il expose et développe des travaux d’arithmétique de Pythagore de Samos (-569 ; -475), Euclide d'Alexandrie (-320 ; -260), Archimède de Syracuse (-287 ; -212), Eudoxe de Cnide (-408 ; -355) et Diophante d'Alexandrie (IIIème siècle de notre ère). C’est dans l’ouvrage de ce dernier, « Les Arithmétiques » que Fermat renferme toutes ses recherches sur la théorie des nombres. Il y laisse de nombreux énoncés non démontrés que plus tard le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) tentera de résoudre. On y trouve en particulier l’un des problèmes les plus célèbres de l’histoire des mathématiques : La conjecture de Fermat.

« L’équation xn + yn = zn n’a pas de solution avec x, y, z > 0 et n > 2 ».

Cet ouvrage annoté par Fermat sera publié par son fils juste après sa mort en 1665.

Grace à Fermat l'arithmétique devient une branche des mathématiques à part entière qui se sépare alors de la géométrie.

 

Nous devons aussi à Fermat le raisonnement par l’absurde qui pour démontrer une affirmation, consiste à supposer l’hypothèse contraire comme vraie dans le but d’aboutir à une contradiction.
L’hypothèse contraire étant fausse, l’affirmation est donc vraie.

Pour comprendre et pour finir, voici un exemple célèbre de démonstration par l’absurde :

Soient deux hypothèses :
- Socrate est un homme
- Les hommes sont mortels
Démontrons par l’absurde que « Socrate est mortel ».

Pour cela, supposons le contraire : « Socrate est immortel ».
Puisque les hommes sont mortels, Socrate n’est pas un homme. Mais ceci est contradictoire avec la première hypothèse « Socrate est un homme ».
La proposition de départ « Socrate est immortel » est donc fausse, son contraire est alors vrai :
« Socrate est mortel ».

 

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