Poésie et mathématiques

 

La Piethagore Xavier Gorce, Hervé Le Tellier
Les Mathifolades Monique Mérabet
Triangle David Tainturier
En mémoire d’Archimède David Tainturier
Archimède et le nombre Pi Auteur inconnu
Le rond et l'étoile Robert Desnos
Par un point situé sur un plan… Robert Desnos
La médiatrice Pierre Lamy
Où vont-elles ? Pierre Lamy
La belle inconnue Pierre Lamy
Poème Jean Dieudonné
Triangles Eugène Guillevic
Euclidiennes Eugène Guillevic
Mathématiques Jules Supervielle
Et le singe devint con François Cavanna
Les amours de la règle et du compas Charles Perrault
Géométrie Jean-Luc Moreau
Solution minute Pef
L'abscisse et l'ordonnée Marie Desplechin
La géométrie en vers technique Desrois
A propos d'Horaces Victor Hugo
Les surfaces ! Aziz El Kacimi
Le quart d'heure de bon temps Nicolas Boileau
Epitaphe Emile Fourrey
L'âge du capitaine Gustave Flaubert

 

La Piethagore
de Xavier Gorce et Hervé Le Tellier

La piethagore
dans le ciel bleu
décrit des figures
géométriques.
Acrobate émérite,
elle dessine en son vol
moult ellipses et paraboles.
D’ailleurs, pour être précis,
le carré de son aile vaut
la somme des carrés de ses petites pattes.
La piethagore est maternelle :
dans le tore du nid elle couve
ses œufs parfaitement sphériques,
à côté d’un compas en or
dérobé à la Castafiore.

 

Les Mathifolades de Monique Mérabet
Merci aux Éditions L'iroli et à Monique Mérabet pour leur aimable autorisation.


Fête numérique

A la grande fête des chiffres,
Place de l’Arithmétique,
Les nombres se mirent en dix
Pour présenter leurs numéros.

ET L’ON VIT :

UN exposant jonglant avec un carré NEUF,
DEUX fractions simplifiées dansant près du grand HUIT,
TROIS impairs, au loto, misant tout sur le SEPT,
QUATRE cubes, aux dés, lorgnant le double SIX,
CINQ micros grésillant : bien reçu cinq sur CINQ,
SIX puissances, grimpant l’escalier quatre à QUATRE,
SEPT décimales de PI courant après le TROIS,
HUIT équations, peignant à la six-quatre-DEUX,
NEUF inconnues, rêvant de devenir quelqu’UN.

Et le petit zéro, qu’on avait oublié,
S’arrondissant,
Enfla… enfla… enfla
Et goba l’assemblée.




La bosse des maths

Un petit chameau rechignait
aux leçons de mathématique ;
il récolta, comme c’est logique,
réprimande et zéro pointé.

À sa mère atterrée, il explique,
avec force détails scientifiques :
« À l’école, j’ai appris maman,
que la bosse des chameaux
ne contient que graisse et eau ;
pas le moindre instrument
pour m’aider en calcul ;
voilà pourquoi je suis nul
en aríthmétrie, en géométique ;
pour ainsi dire, c’est génétique.
Ah ! gémit-il en se tordant les pattes,
pourquoi ne pas m’avoir fait une bosse en math ? »

La chamelle courroucée par tant d’effronterie,
blatéra fermement : « Assez de pitreries !
Et, bosse des maths ou pas,
bosse tes maths ou tu auras...
affaire à moi. »


Psychologie du zéro

Regardez-les passer
si fièrement campés
sur leur rotondité.
Ils inspirent le respect.
A droite… ce sont des chiffres
Très significatifs :
Un tantinet farauds,
Ces zéros !

On peut en distinguer,
En repères posés :
Les feux de position
De la numération ;
Ils gardent avec classe
A chaque entier sa place.
 Des serviteurs loyaux,
Ces zéros !

Et parfois, ils s’ennuient,
Esseulés, en sursis,
Au bout d’un signe égal.
Ils mourront, c’est fatal,
Pour donner solution
A la belle équation.
Quel dévouement ! Bravo,
Les zéros !

Mais lorsqu’ils vont, tremblants,
Honteux, insignifiants,
Pressés par la virgule
Pour atteindre le nul,
L’infiniment petit,
Qu’ils se sentent incompris,
Ne méprisez pas trop…

Les zéros !!!


La métamorphose du parallélogramme

Quel poète dira les charmes délectables
de l’insaisissable parallélogramme,
polymorphe dans l’âme,
qui se déforme,
se transforme
au gré des humeurs d'un crayon ?

On le croit rectangle,
bien d’équerre sur ses sommets ;
lui, rêve d'azur ;
il se fait losange, cerf-volant
et s’envole dans le vent.

Carré, on le nomme
quand on oublie son nom,
à ce sacré polygone !
Tous les cancres vous le diront.

Quand, - avec l’âge ? - il devient obèse,
ce n'est plus qu'un trapèze,
un parallélogramme handicapé,
sur sa grande base, affalé.

Si on pousse un peu
sur ses articulations,
le voilà tout aplati
qui se cache sous un trait.
Quadrilatère, vous disiez ?

Quand l’ignorance s'en mêle,
il est baptisé « quadrupède ››
et, les sommets emmêlés,
se réveille croisé.
Quelle destinée !



Les tribulations d’un triangle

Un quelconque triangle irascible,
un peu « sommet monté ››,
ne pouvait plus supporter
d’être perpétuellement la cible
de calamiteux tracés.
Les apprentis géomètres, sans science
ni conscience,
avec acharnement le tourmentaient
à la pointe du compas,
ou, d'une règle trop rigide,
le sillonnaient de rides.
Et pour quel piètre résultat !

L’orthocentre : pas d’équerre !
Le centre de gravité : à pleurer de rire !
Cercle inscrit ? Circonscrit ?
Les points dépassaient de la périphérie.
La bonne fée Isomète
vint promptement secourir
le triangle martyr.
En trois coups de baguette,
elle le transforma, c’était génial !
en triangle équilatéral.
Aussitôt, toutes les droites se confondent :
hauteurs, médiatrices,
médianes, bissectrices...
Et, un seul centre pour tout le monde !

Le triangle en souffrit dans son orgueil :
« On me croira borgne avec ce seul œil. »

La fée n’aimait pas les ingrats.
Elle aligna tous les sommets :
plus de surface, de côtés,
plus de hauteurs, de bissectrices,
plus de médianes, de médiatrices.

Sa froide vengeance fut un triangle plat !
Fractales

Au jardin des Mathématiques,
un triangle aspirait à l’infini.
Ses côtés trop isométriques
entravaient ses rêves inassouvis
et l’agaçaient de leur musique :
ton périmètre, il est fini... fini.

Un jour, un ange bucolique
lui greffa, bien au centre des côtés
deux tiers de segments en oblique.
Cet ange était excellent jardinier
et bientôt, surgeons identiques,
trois bébés trigones bourgeonnaient.

Voyant qu'ainsi le périmètre
s’agrandissait en belle proportion,
il suivit son art de géomètre,
sautant de division en division.
Cela fit une belle étoile
et tous les triangles à l’unisson,
se festonnèrent de fractales
qui rivalaient en perfection.
















 

Poème
récité par Jean Dieudonné, en septembre 1988, pour une émission diffusée sur France Culture.

Soit une multiplicité vectorielle
Un corps opère, seul, abstrait, commutatif
Le dual reste loin, solitaire et plaintif
Cherchant l'isomorphie et la trouvant rebelle.

Soudain bilinéaire a jailli l'étincelle
D'ou naît l'opérateur deux fois distributif.

Dans les rets du produit tous les vecteurs captifs
Ont célébré sans fin la structure plus belle.

Mais la base a troublé cet hymne aérien
Les vecteurs éperdus ont des coordonnées
Cartan ne sait que faire et n'y comprend plus rien

Et c'est la fin. Vecteurs, opérateurs foutus
Une matrice immonde expire. Le corps nu
Fuit en lui-même, au sein de lois qu'il s'est donné.

 

Triangle de David Tainturier

Qui ?
Parmi…
Les mystères ?
Toutes les mers ?
A bien mieux que moi
Réussi à égarer les navires ?
De mon angle parfois droit, ou pas
J’ai aidé, aidé les hommes, aidé à bâtir
Sur la terre infinie des dieux grands pharaons
D’immenses tombeaux, tous de pierres et de sable
Dont chaque face éclairée porte désormais mon nom.
Tantôt acutène, tantôt rectangle, isocèle, ou bien équilatéral,
Trois points me définiront, mais le plus souvent simple, scalène.
De mes trois points vitaux dessinés de la main même du génial Euler
Droites et cercles dansent en chœur. Galilée ! Toute la géométrie règne
En mon sein ; moi, nécessaire ! Déséquilibré boiteux rempli de mystères…

 

En mémoire d’Archimède de David Tainturier



Rêvant à enfermer celui qui m’a fait naitre
L’homme qui me fit nombre paya de sa vie
Mort à cause d’un soleil fuyant sa fenêtre
Depuis un long cortège d’ombres me poursuit

Longtemps restreint à mes vertus de géomètre
Régnant sur le cercle, grand magicien du disque
En géométrie, le Penseur me sacra maître
D’autres m’ont transcendé pour de l’arithmétique

Nombres pairs de Zeta, aiguilles de Buffon
De toutes les sciences je suis omnipotent
On m’apprend comme le refrain d’une chanson

Mais demain peut-être je contiendrai le monde
Misérables mortels ! Cherchez-moi doucement
En attendant ce jour je continue ma ronde.

3,141592654…


 

Archimède et le nombre Pi

Le poème qui suit permet de retenir les premières décimales de Pi.
Le nombre de lettres de chaque mot coïncide dans le même ordre avec une décimale de Pi.
Un nombre à 10 lettres correspond au chiffre 0.

Que(3) j(1)'aime(4) à(1) faire(5) apprendre ce nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle.


 

Le rond et l'étoile de Robert Desnos


Pour faire une étoile à cinq branches
Ou à six ou même davantage
Il faut d'abord faire un rond
Pour faire une étoile à cinq branches...
Un rond!
On n'a pas pris tant de précaution
Pour faire un arbre à beaucoup de branches
Arbres qui cachez les étoiles!
Arbres!
Vous êtes pleins de nids et d'oiseaux chanteurs
Couverts de branches et de feuilles
Et vous montez jusqu'aux étoiles!


 

Par un point situé sur un plan de Robert Desnos

Par un point situé sur un plan
On ne peut faire passer qu’une perpendiculaire à ce plan.
On dit ça…
Mais par tous les points de mon plan à moi
On peut faire passer tous les hommes, tous les animaux de la terre.
Alors votre perpendiculaire me fait rire.
Et pas seulement les hommes et les bêtes
Mais encore beaucoup de choses
Des cailloux
Des fleurs
Des nuages
Mon père et ma mère
Un bateau à voiles
Un tuyau de poêle
Et si cela me plaît
Quatre cents millions de perpendiculaires.


 

La médiatrice de Pierre Lamy

C'est une rude orthogonale
qui sans ménagement empale
un brave et malheureux segment.

On l'appelle la médiatrice...

Avec un culot désarmant,
elle prend son aise et s'installe
sur sa victime qui ne râle,
ni même appelle sa maman.

Eh oui ! C'est ça la médiatrice...

Cette insupportable adventice
me courait sur le singleton.
Pour stigmatiser sa malice,
il fallait que je l’écrivisse,
ce faux sonnet, ce mirliton.


 

Où vont-elles ? de Pierre Lamy

Saturé de philo, le potache somnole.
Il attend, résigné, le « dring » libérateur.
Il rêve à l'intégrale, à la tendre hyperbole,
à la douce euclidienne, au dénominateur.

Il rêve le chemin des longues parallèles
qui sans un seul écart cinglent vers leur destin.
Tel un couple de rails en titane. Si frêles
qu’une épeire aurait pu les filer au matin.

Où va-t-il ce chemin fugace et rectiligne
quand il sort de la feuille et fonce vers les murs ?
Peut-il les traverser ? Se perdre dans l'azur,
tel un rayon laser, tel un duvet de cygne ?

Mais soudain retentit le « dring » tant espéré.
Le potache ouvre un œil. C'est enfin la récré.


 

La belle inconnue de Pierre Lamy

Diophante, permets au pauvre rimailleur
De bousculer un peu cette douce ingénue
Que fit naître un beau jour ta plume bienvenue
Pour le plus grand plaisir des esprits pinailleurs.

Il me faut avant tout, patient orpailleur,
Pour débusquer enfin cette belle inconnue,
Chercher obstinément sa cache saugrenue.
Au coin de l'hypothèse ? Ici ? Peut-être ailleurs ?

Je crois avoir trouvé la bonne algorithmique.
A petits pas prudents, j'approche. C'est magique !
Va-t-elle se laisser surprendre de plein gré ?

Oui! Victoire ! Je l'ai ! Mais elle a deux copines ?
- Est-il si surprenant de trouver trois racines
Dans une équation du troisième degré ?


 

Triangles de Eugène Guillevic


Isocèle

J'ai réussi à mettre
Un peu d'ordre en moi-même

Equilatéral

J'ai tendance à me plaindre.
Je suis allé trop loin
Avec mon souci d'ordre
Rien ne peut plus venir.

Rectangle

J'ai fermé l'angle droit
Qui souffrait d'être ouvert
En grand sur l'aventure.
Je suis une demeure
Où rêver est de droit.

 

Euclidiennes Eugène Guillevic

Parallèles


On va, l’espace est grand,
On se côtoie,
On veut parler.
Mais ce qu’on se raconte
L’autre le sait déjà,
Car depuis l’origine
Effacée, oubliée,
C’est la même aventure.
En rêve on se rencontre,
On s’aime, on se complète.
On ne va plus loin
Que dans l’autre et dans soi.

Perpendiculaire


Facile est de dire
Que je tombe à pic.
Mais c'est aussi sur moi
Que l'autre tombe à pic.







 

Mathématiques de Jules Supervielle

Quarante enfants dans une salle,
Un tableau noir et son triangle.
Un grand cercle hésitant et sourd
Son centre bat comme un tambour.

Des lettres sans mots ni patrie
Dans une attente endolorie.

Le parapet dur d'un trapèze,
Une voix qui s'élève et s'apaise
Et le problème furieux
Se tortille et se mord la queue.

La mâchoire d'un angle s'ouvre.
Est-ce une chienne ?

Est-ce une louve ?
Et tous les chiffres de la terre,
Tous ces insectes qui défont
Et qui refont leur fourmilière
Sous les yeux fixes des garçons.

 

Et le singe devint con de François Cavanna

Par un point
Tsoin, tsoin
Pris hors d'une droite
Moite, moite,
On peut
Poil aux yeux
Faire passer une
Blonde ou brune
Parallèle
Belle belle
Et on ne peut
Repoil aux yeux
En faire passer
C'est forcé
Qu'une
Voilà.
C'est mon postulat à moi.
Tra la la.

 

Les amours de la règle et du compas (extraits) de Charles Perrault


Le Compas glorieux se réveille en sursaut,
Ému de cette vue et d'un espoir si haut.
Il rend grâce au Soleil, et ferme comme un Aigle
Le regarde et s'en va : Puis rencontre la Règle ;
Droite, d'un grave port, pleine de majesté,
Inflexible et surtout observant l'équité
Il la suit, elle fuit d'une égale vitesse
Il double en son ardeur ses efforts vainement
Tous les coeurs s'opposaient à son contentement
Il pense la tenir, sans la voir il la touche
De ses rayons aigus il joint cette farouche


Quoi ? dit-elle en riant, je serais la conquête
D'un amant qui n'aurait que les pieds et la tête ?
Toutefois nos amours, répliqua le Compas,
Produiront des enfants qui vaincront le trépas.
De nous deux sortira la belle Architecture,
Et mille nobles arts pour polir la nature,
Ne pense pas, dit-elle, ébranler mon repos,
Ou pour autoriser tes étranges propos
Tâche à plaire à mes yeux par quelques gentillesses ;
Et montre des effets pareils à tes promesses.
Le Compas aussitôt sur un pied se dressa,
Et de l'autre, en tournant un grand cercle traça
La règle en fut ravie, et soudain se vint mettre
Dans le milieu du cercle, et fit le diamètre.
Son amant l'embrassa, l'ayant à sa merci,
Tantôt s'élargissant et tantôt raccourci,
Et l'on vit naître alors de leurs doctes postures
Triangles et carrés, et mille autres figures.


 

Géométrie de Jean-Luc Moreau


Deux droites parallèles
Depuis longtemps s'aimaient.
- Nous toucher, disaient-elles.
Le pourrons-nous jamais ?
Messieurs les géomètres
Nous parlent d'infini ;
C'est bien beau de promettre,
Mais tant de kilomètres
Ça donne le tournis !
- Si le sort vous accable,
Leur répondis-je alors,
Rapprochez-vous, que diable,
Rapprochez-vous encor !
Ma remarque opportune
Leur fut d'un grand secours :
Il n'en reste plus qu'une,
Quel beau roman d'amour!

 

Solution minute de Pef - Recueil Poëtic-Tac



Je ne sais pas
dessiner l'angle droit.
Je vais avoir un beau zéro.
Mais derrière les carreaux,
le clocher, rapproché
sur la pointe des pieds,
doucement,
précisément,
m'aiguille de ses aiguilles :
Il est neuf heures,
quelle bonne heure !
J'ai trouvé !
Merci, clocher,
d'avoir soufflé
à quatre vingt dix degrés !

 

L'abscisse et l'ordonnée de Marie Desplechin


L’abscisse est la cruelle Maîtresse de l'ordonnée.
À Peine se sont-elles croisées
qu'elles enfantent, baptisent et domicilient un petit point
dont il faut reconnaître - à regret - qu'elles ne prennent aucun soin.
L’abscisse en effet n'a de cesse que de rencontrer une nouvelle ordonnée
plus jeune, plus belle,
à laquelle elle fera illico un nouveau petit point unique,
qu'elle abandonnera comme le précédent,
le vouant le plus souvent
à la solitude paranoïaque des corps totalement ordonnés.

 

La géométrie en vers technique de Desrois


Sans surface est le point, le plan sans épaisseur ;
La ligne droite ou courbe est longue sans largeur :
La raison le condamne, et la raison l'exige.
La ligne droite au but constamment se dirige ;
Et c'est, par conséquent, devant tous les humains
Entre deux points donnés le plus court des chemins.

La courbe est, au contraire, une route incertaine,
Qui vers le point quitté bien souvent me ramène ;
Mais elle a des vertus qui par-tout font du bruit :
C'est le cercle d'abord qui me plaît et m'instruit.
Voyez l'astre du jour en sa vaste carrière ;
Il promène avec pompe un cercle de lumière,
Forme parfaite aux yeux, dont l'art du Créateur
Sur nos savans esprits revendique l'honneur.

J'établirai d'abord, comme lois générales,
Que les arcques[3] égaux ont des cordes égales,
Et que les plus grands arcs sont toujours sous-tendus
Par les cordes aussi qui s'étendent le plus.
L'angle, au centre placé par sa propre nature,
Dans les degrés du cercle a trouvé sa mesure :
L'aigu, l'obtus, le droit qui n'a point de rivaux ;
Opposés au sommets, ils sont toujours égaux.

La perpendiculaire a confondu l'oblique ;
Je la démontrerai plus courte sans réplique,
Et que chacun des points, mesuré dans son lieu,
Des deux extrémités tient le juste milieu.

A l'abri de l'envie, en compagnes fidèles,
On voit marcher de front deux lignes parallèles ;
Mais l'oblique sécante, aussitôt survenant
Va nous faire observer l'angle correspondant.
Il sert à comparer les alternes internes,
Egaux entre eux ainsi qu'entre eux sont les externes.
Deux cercles se touchant en un point, quel qu'il soit,
Leurs centres et le point sont sur un chemin droit.
Si la corde au rayon est perpendiculaire,
Elle est coupée en deux, et la part circulaire.
Parallèles étant deux cordes, j'en conclus
Que deux arcques égaux y seront contenus,
Et que toute tangente à corde parallèle,
Touche au milieu de l'arc sous-tendu par icelle.

L'angle dont le sommet à la courbe se rend,
A moitié des degrés de l'arcque qu'il comprend,
Lorsqu'il est au dehors, le cas devient complexe,
Du concave moitié, moins moitié du convexe ;
S'il est entre le centre et la courbe compris,
Des moitiés des deux arcs les degrés seront pris.

Avançant pas-à-pas, par des règles austères
Des triangles égaux traçons les caractères.
1º Entre côtés égaux un angle intercepté ;
2º Les deux angles égaux sur un égal côté ;
3º Les trois côtés enfin tous égaux l'un à l'autre,
Satisfont sur cela mon esprit et le vôtre.
Ces trois règles qui sont faciles à montrer,
Dans d'autres vérités sauront nous faire entrer.
Parallèles gissant entre deux parallèles,
S'offrent par la seconde être égales entre elles.

 

A propos d'Horaces de Victor Hugo


J'étais alors en proie à la mathématique.
Temps sombre ! enfant ému du frisson poétique,
Pauvre oiseau qui heurtais du crâne mes barreaux,
On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux ;
On me faisait de force ingurgiter l'algèbre :
On me liait au fond d'un Boisbertrand funèbre ;
On me tordait, depuis les ailes jusqu'au bec,
Sur l'affreux chevalet des X et des Y ;
Hélas ! on me fourrait sous les os maxillaires
Le théorème orné de tous ses corollaires ;
Et je me débattais, lugubre patient
Du diviseur prêtant main-forte au quotient.
De là mes cris.

 

Les surfaces ! de Aziz El Kacimi


Description des surfaces de façon légère, amusante… et en vers !
A découvrir sur le site images des maths

 

Le quart d'heure de bon temps de Nicolas Boileau



L’homme, dont la vie entière
Est de quatre-vingt-seize ans,
Dort le tiers de sa carrière,
C'est juste trente-deux ans.

Ajoutons pour maladies,
Procès, voyages, accidents
Au moins un quart de la vie,
C'est encore deux fois douze ans.

Par jour deux heures d'études
Ou de travaux - font huit ans,
Noirs chagrins, inquiétudes
Pour le double font seize ans.

Pour affaires qu'on projette
Demi-heure, - encore deux ans.
Cinq quarts d'heures de toilette
Barbe et caetera - cinq ans.

Par jour pour manger et boire
Deux heures font bien huit ans.
Cela porte le mémoire
Jusqu'à quatre-vingt-quinze ans.

Reste encore un an pour faire
Ce qu'oiseaux font au printemps.
Par jour l'homme a donc sur terre
Un quart d'heure de bon temps.

 

Epitaphe

Traduction en alexandrins d'Emile Fourrey dans ses Récréations mathématiques, 1899



Une légende au sujet de Diophante d'Alexandrie raconte qu'il était écrit sur sa tombe l'épitaphe suivante :

Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des septs parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Voir la solution

 

L'âge du capitaine de Gustave Flaubert

Puisque tu fais de la géométrie et de la trigonométrie, je vais te donner un problème :
Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d'avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle NNE, l'horloge marque trois heures un quart d'après-midi, on est au mois de mai...
On demande l'âge du capitaine.

 




   
   

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