Les trois problèmes de l'Antiquité





Les grecs de l’Antiquité furent les premiers à étudier des problèmes de constructions géométriques avec pour seuls instruments une règle non graduée et un compas. La géométrie grecque considérant la droite et le cercle comme les figures fondamentales, ne validait un problème de construction que s’il était réalisé à la règle et au compas.
Si les trois problèmes énoncés ci-dessous sont devenus célèbres, c’est justement parce que toutes les tentatives de résolution, anciennes et modernes, furent vaines.
C’est au XIXème siècle seulement que l’on démontra l'impossibilité de résoudre ces problèmes à la règle et au compas.

 

La duplication du cube

Le problème fut posé par les sophistes au VIème siècle avant J.C.
Il consiste à construire un cube double en volume d’un cube donné.

L’histoire raconte que l’oracle de l’île de Délos demanda que l’on double l’autel de forme cubique dédié à Apollon afin d'apaiser la colère des Dieux et de débarrasser l’île de la peste. Les déliens qui doublèrent alors la longueur des côtés du cube ne résolurent pas le problème puisqu'ils multiplièrent ainsi le volume de l'autel par huit. La peste redoubla d'intensité et les déliens, désemparés, allèrent trouver Platon qui leur déclara qu'il est très préjudiciable aux grecs de négliger les mathématiques et la géométrie.


Si c désigne le côté du cube initial, il s'agit de construire un segment de mesure x tel que : x3 = 2c3

Pierre-Laurent Wantzel (1814 ; 1848) démontra en 1837 que la racine troisième de 2 n’est pas constructible et donc la duplication du cube est impossible.

 

La trisection de l’angle

Nous savons construire la bissectrice d’un angle à la règle et au compas.

Le problème de la trisection de l’angle consiste à partager un angle en trois parties égales.

C’est également Pierre-Laurent Wantzel qui démontra en 1837 l’impossibilité de résoudre ce problème.



La quadrature du cercle

Ce problème est certainement le plus célèbre des trois à tel point que quadrature du cercle est aujourd'hui synonyme d’impossibilité.

Au VIe siècle avant J.C., les arpenteurs babyloniens effectuent des mesures pour évaluer les surfaces des terrains. La longueur est donnée en coudées. Et, quel que soit la forme du terrain, sa surface est toujours ramenée à celle d'un carré de même surface. Cette transformation souvent complexe et mettant en application de nombreuses propriétés de géométrie s'appelle une quadrature. Voir la méthode

Celle qui nous préoccupe ici consiste à construire un carré de même aire qu’un cercle donné.

Le carré ayant pour côté a et le cercle pour diamètre d, le problème revient à résoudre l'équation a2/d2=π/4. La solution ne passe pas par une résolution géométrique mais par la recherche de la nature du nombre π. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 ; 1939) démontra la transcendance de π qui par conséquent n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers et qui ne peut donc pas satisfaire l’équation ci-dessus.

Lire à ce sujet : « La quadrature du cercle et le nombre π » d’André Krop aux Editions Ellipse (avril 2005).

 


Un chercheur de la quadrature du cercle au XVIème siècle
Illustration extraite de "La Nature" 1890


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