61 DN 120

DIPLOME NATIONAL DU BREVET
Série Collège
MATHEMATIQUES

Session 2006

LA REDACTION ET LA PRESENTATION SONT PRISES EN COMPTE POUR 4 POINTS

LES CALCULATRICES SONT AUTORISEES conformément à la circulaire n°99186 du 16/11/1999

DU PAPIER MILLIMETRE SERA MIS A LA DISPOSITION DES CANDIDATS

DUREE: 2 HEURES

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ACTIVITES NUMERIQUES (12 points)

Exercice 1

On donne:	A = ,	B = ,	C = 

1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2) Ecrire B sous la forme  où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible.
 
3) Calculer C et donner son écriture scientifique.

Exercice 2

On considère l'expression : E = (3x + 2)2 – (5 – 2x)(3x + 2).

1) Développer et réduire l'expression E.

2) Factoriser E.

3) Calculer la valeur de E pour x = –2.

4) Résoudre l'équation (3x + 2)(5x – 3) = 0.
    Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?

Exercice 3

On considère le système suivant : 	2x + 3y = 5,5
3x + y = 4,05

1) Le couple (x = 2 ; y = 0,5) est-il solution de ce système ?

2) Résoudre le système d'équations.

3) A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 €. Béatrice achète 3  
    croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 €.
    Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ?

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ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points)

Dans cette partie, toutes les réponses seront justifiées.

Exercice 1

On considère la figure ci-contre qui n'est pas 
réalisée en vraie grandeur.

Les points S, P, E et B sont alignés ainsi que
les points N, P, C et M.

Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.

On donne : 	PM = 12 cm, MB = 6,4 cm ;	
		PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.

1) Démontrer que le triangle PBM est rectangle,

2) En déduire la mesure de l'angle PBM arrondie au degré près.

3) Calculer la longueur NS.

4) On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] tel que
    PC = 3 cm.
    Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ?

Exercice 2

La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

1) Placer les points : A(-2 , 1), B (3 , 2), C (-3 , -2) et G (7 , 0).

2)	a) Placer le point E tel que . En déduire la nature du quadrilatère ABEC.

	b) Donner par lecture graphique les coordonnées du point E.

3) Calculer la valeur exacte de la longueur AB.

4) Placer le point F(-1 ; 4) et démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A.

5) Démontrer que B est le milieu du segment [FG] et en déduire sans autre calcul la longueur CG.

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PROBLEME (12 points)

La piscine de Monsieur Dujardin a la 
forme d'un prisme droit dont la base 
ABCD est un trapèze rectangle.

On donne: 	AB = 14 m, AE = 5 m,
AD = 1,80 m, BC = 0,80 m.

Sur le schéma ci contre, les dimensions
ne sont pas respectées.

On rappelle les formules suivantes :
Aire d'un trapèze =  ; Volume d’un prisme = (Aire de la base) x hauteur.

Partie A

1) Montrer que le volume de cette piscine est 91 m3.
2) A la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5m3 par heure.
    a) Calculer le nombre de m3 d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures.
    b) On admet que le nombre de m3 d'eau restant dans la piscine au bout de x heures est donné par la
        fonction affine f définie par : f(x) = 91– 5x.
        Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que
		• en abscisse, 1 cm représente 1 heure,
		• en ordonnée, 1 cm représente 5m3.
        Représenter graphiquement la fonction f dans ce repère.
    c) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56 m3
        d'eau dans cette piscine.
    d) Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la  
        piscine. 
    e) Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes.

Partie B

M. Dujardin doit clôturer sa piscine, en laissant autour une 
distance de 1,25m comme le montre le schéma ci-contre.

1) Calculer les distances IJ et JK en cm.

2) Pour réaliser la clôture, il souhaite utiliser un nombre entier
    de panneaux rectangulaires identiques, dont la longueur a 
    est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible.
    Expliquer pourquoi a est le PGCD de 750 et de 1650.

3) Calculer la valeur de a, en indiquant la méthode utilisée.

4) Combien faudra-t-il de panneaux pour clôturer la piscine ?

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